Exploring Hyperbolas and Tangent Slopes

2017-06-09 08:37

This GeoGebra applet demonstrates the geometric properties of a hyperbola and the relationships of its tangent slopes. By constructing points, tangents, segments, and vectors, it dynamically calculates and displays the slopes at various positions and their combinations. Integrating coordinate geometry and linear equations, it helps learners intuitively understand the slope variations and related t

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<expression label="b2a2" exp="b^(2) / a^(2)" />
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<command name="Point">
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<expression label="D" exp="(-C)" type="point" />
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<element type="numeric" label="m_3">
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	<show object="false" label="true"/>
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	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
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<expression label="m3m4" exp="(m_3 * m_4)" />
<element type="numeric" label="m3m4">
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<command name="Vector">
	<input a0="O" a1="A"/>
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<element type="vector" label="u">
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<command name="Vector">
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<element type="vector" label="v">
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<element type="boolean" label="toggleTangent">
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<command name="Segment">
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<command name="Tangent">
	<input a0="Q" a1="e"/>
	<output a0="g" a1=""/>
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<element type="line" label="g">
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<element type="numeric" label="m_6">
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<command name="Slope">
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<command name="Slope">
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<element type="numeric" label="m_8">
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<command name="Slope">
	<input a0="QF"/>
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<element type="numeric" label="m_7">
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<expression label="m7m8" exp="(m_7 * m_8)" />
<element type="numeric" label="m7m8">
	<value val="1.0776417233560087"/>
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<command name="Segment">
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	<selectionAllowed val="false"/>
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<expression label="text3" exp="&quot;m_1&quot;"/>
<element type="text" label="text3">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
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	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
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	<startPoint exp="P / 2"/>
	<labelOffset x="-10" y="-8"/>
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<expression label="text4" exp="&quot;m_2&quot;"/>
<element type="text" label="text4">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<expression label="text5" exp="&quot;m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2}&quot;"/>
<element type="text" label="text5">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
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	<labelMode val="0"/>
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</element>
<command name="Direction">
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<element type="text" label="text6">
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<expression label="text7" exp="&quot;m_2&quot;"/>
<element type="text" label="text7">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
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<command name="Direction">
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<element type="text" label="text8">
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<element type="text" label="text9">
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<element type="text" label="text10">
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Loading the math board and drawing, please wait…

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	<usePathAndRegionParameters val="true"/>
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	<angleUnit val="degree"/>
	<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
	<coordStyle val="0"/>
</kernel>
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<construction title="" author="" date="">
<expression label ="O" exp="(0, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="O">
	<show object="true" label="false" ev="6"/>
	<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<fixed val="true"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="0.0" y="0.0" z="1.0"/>
	<pointSize val="5"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Point">
	<input a0="Ray[O + (0.1, 0), O + (1, 0)]"/>
	<output a0="A"/>
</command>
<element type="point" label="A">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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	<coords x="2.1" y="0.0" z="1.0"/>
	<pointSize val="5"/>
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</element>
<expression label="a" exp="x(A)" />
<element type="numeric" label="a">
	<value val="2.1"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label ="j" exp="(0, 1)" type="vector"/>
<element type="vector" label="j">
	<show object="false" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
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	<selectionAllowed val="false"/>
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	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
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<command name="Point">
	<input a0="Ray[O + (0.1 * j), O + j]"/>
	<output a0="B"/>
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<element type="point" label="B">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<expression label="b" exp="y(B)" />
<element type="numeric" label="b">
	<value val="2.18"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="e" exp="((-x^(2))) / a^(2) + y^(2) / b^(2) = 1" type="conic" />
<element type="conic" label="e">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<objColor r="128" g="0" b="128" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<eigenvectors  x0="-0.0" y0="1.0" z0="1.0" x1="-1.0" y1="-0.0" z1="1.0"/>
	<matrix A0="-1.8140589569160996" A1="1.68335998653312" A2="-8.0" A3="0.0" A4="0.0" A5="0.0"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Point">
	<input a0="e"/>
	<output a0="Q"/>
</command>
<element type="point" label="Q">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="2"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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	<coords x="-2.5770605600361622" y="-3.4509822567867827" z="1.0"/>
	<pointSize val="7"/>
	<pointStyle val="0"/>
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<command name="Point">
	<input a0="e"/>
	<output a0="E"/>
</command>
<element type="point" label="E">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="255" g="215" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="2"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-1.4074680358889105" y="2.624342185638336" z="1.0"/>
	<pointSize val="4"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="F" exp="(-E)" type="point" />
<element type="point" label="F">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="192" g="192" b="192" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="1.4074680358889105" y="-2.624342185638336" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label ="i" exp="(1, 0)" type="vector"/>
<element type="vector" label="i">
	<show object="false" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<fixed val="true"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="1.0" y="0.0" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
</element>
<command name="Line">
	<input a0="O" a1="A + B"/>
	<output a0="L1"/>
</command>
<element type="line" label="L1">
	<show object="true" label="false" ev="6"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-2.18" y="2.1" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Line">
	<input a0="O" a1="A - B"/>
	<output a0="L2"/>
</command>
<element type="line" label="L2">
	<show object="true" label="false" ev="6"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
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	<isShape val="false"/>
	<coords x="2.18" y="2.1" z="-0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<expression label="c" exp="sqrt(a^(2) + b^(2))" />
<element type="numeric" label="c">
	<value val="3.0269456552769496"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="d" exp="x^(2) / a^(2) - y^(2) / b^(2) = 1" type="conic" />
<element type="conic" label="d">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
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	<eigenvectors  x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
	<matrix A0="1.8140589569160996" A1="-1.68335998653312" A2="-8.0" A3="0.0" A4="0.0" A5="0.0"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Point">
	<input a0="d"/>
	<output a0="P"/>
</command>
<element type="point" label="P">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="2"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-2.2203373180446273" y="-0.7485075600959661" z="1.0"/>
	<pointSize val="7"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Tangent">
	<input a0="P" a1="d"/>
	<output a0="f" a1=""/>
</command>
<element type="line" label="f">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-4.027822799173927" y="1.2600076762830839" z="-8.0"/>
	<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="O" a1="P"/>
	<output a0="OP"/>
</command>
<element type="segment" label="OP">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="0.7485075600959661" y="-2.2203373180446273" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="OP"/>
	<output a0="m_1"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_1">
	<value val="0.3371143447497204"/>
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="f"/>
	<output a0="m_2"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_2">
	<value val="3.1966652862430673"/>
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<expression label="m1m2" exp="(m_1 * m_2)" />
<element type="numeric" label="m1m2">
	<value val="1.0776417233560092"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="b2a2" exp="b^(2) / a^(2)" />
<element type="numeric" label="b2a2">
	<value val="1.0776417233560092"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Point">
	<input a0="d"/>
	<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="255" g="215" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="2"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="2.5909495839008954" y="-1.5753825466670413" z="1.0"/>
	<pointSize val="4"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="D" exp="(-C)" type="point" />
<element type="point" label="D">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="192" g="192" b="192" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-2.5909495839008954" y="1.5753825466670413" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="P" a1="C"/>
	<output a0="PC"/>
</command>
<element type="segment" label="PC">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="0.8268749865710752" y="4.811286901945523" z="5.437226009938331"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="P" a1="D"/>
	<output a0="PD"/>
</command>
<element type="segment" label="PD">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-2.3238901067630073" y="-0.37061226585626805" z="-5.437226009938331"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="C" a1="D"/>
	<output a0="CD"/>
</command>
<element type="segment" label="CD">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-3.1507650933340825" y="-5.181899167801791" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="PC"/>
	<output a0="m_4"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_4">
	<value val="-0.17186150055543659"/>
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="PD"/>
	<output a0="m_3"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_3">
	<value val="-6.270407973124843"/>
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<expression label="m3m4" exp="(m_3 * m_4)" />
<element type="numeric" label="m3m4">
	<value val="1.0776417233560094"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="O" a1="A"/>
	<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
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	<isShape val="false"/>
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	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint exp="O"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="O" a1="B"/>
	<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="0.0" y="2.18" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint exp="O"/>
</element>
<element type="boolean" label="toggleTangent">
	<value val="false"/>
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelOffset x="11" y="13"/>
	<labelMode val="3"/>
	<checkbox fixed="true"/>
	<caption val="切線 / 直徑"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="O" a1="Q"/>
	<output a0="OQ"/>
</command>
<element type="segment" label="OQ">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="3.4509822567867827" y="-2.5770605600361622" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Tangent">
	<input a0="Q" a1="e"/>
	<output a0="g" a1=""/>
</command>
<element type="line" label="g">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="4.67493979144882" y="-5.809245445310634" z="-8.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="OQ"/>
	<output a0="m_6"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_6">
	<value val="1.339115700384766"/>
	<show object="false" label="true" ev="3"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="g"/>
	<output a0="m_5"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_5">
	<value val="0.8047413102888511"/>
	<show object="false" label="true" ev="3"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<expression label="m5m6" exp="(m_5 * m_6)" />
<element type="numeric" label="m5m6">
	<value val="1.0776417233560092"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="Q" a1="E"/>
	<output a0="QE"/>
</command>
<element type="segment" label="QE">
	<show object="true" label="false" ev="7"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-6.075324442425119" y="1.1695925241472518" z="-11.62023596149483"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="QE"/>
	<output a0="m_8"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_8">
	<value val="5.194394044929989"/>
	<show object="false" label="true" ev="3"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="Q" a1="F"/>
	<output a0="QF"/>
</command>
<element type="segment" label="QF">
	<show object="true" label="false" ev="7"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-0.8266400711484465" y="3.984528595925073" z="11.62023596149483"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Slope">
	<input a0="QF"/>
	<output a0="m_7"/>
</command>
<element type="numeric" label="m_7">
	<value val="0.2074624516420439"/>
	<show object="false" label="true" ev="3"/>
	<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<expression label="m7m8" exp="(m_7 * m_8)" />
<element type="numeric" label="m7m8">
	<value val="1.0776417233560087"/>
	<symbolic val="true" />
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="E" a1="F"/>
	<output a0="EF"/>
</command>
<element type="segment" label="EF">
	<show object="true" label="false" ev="11"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="5.248684371276672" y="2.814936071777821" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text1" exp="&quot;a&quot;"/>
<element type="text" label="text1">
	<show object="true" label="true" ev="40"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="3"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="A / 2"/>
	<labelOffset x="-11" y="3"/>
</element>
<expression label="text2" exp="&quot;b&quot;"/>
<element type="text" label="text2">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="B / 2"/>
	<labelOffset x="-23" y="-12"/>
</element>
<expression label="text3" exp="&quot;m_1&quot;"/>
<element type="text" label="text3">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="P / 2"/>
	<labelOffset x="-10" y="-8"/>
</element>
<expression label="text4" exp="&quot;m_2&quot;"/>
<element type="text" label="text4">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="P + d1 / 2"/>
	<labelOffset x="-11" y="-11"/>
</element>
<expression label="text5" exp="&quot;m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2}&quot;"/>
<element type="text" label="text5">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="250" b="205" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
	<absoluteScreenLocation x="295" y="12"/>
</element>
<command name="Direction">
	<input a0="f"/>
	<output a0="d1"/>
</command>
<element type="vector" label="d1">
	<show object="false" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="1.2600076762830839" y="4.027822799173927" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint exp="P"/>
</element>
<expression label="text6" exp="&quot;m_1&quot;"/>
<element type="text" label="text6">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="Q / 2"/>
	<labelOffset x="-12" y="-12"/>
</element>
<expression label="text7" exp="&quot;m_2&quot;"/>
<element type="text" label="text7">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
	<condition showObject="toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="Q + d2 / 2"/>
	<labelOffset x="-3" y="-11"/>
</element>
<command name="Direction">
	<input a0="g"/>
	<output a0="d2"/>
</command>
<element type="vector" label="d2">
	<show object="false" label="false" ev="11"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isShape val="false"/>
	<coords x="-5.809245445310634" y="-4.67493979144882" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint exp="Q"/>
</element>
<expression label="text8" exp="&quot;m_1&quot;"/>
<element type="text" label="text8">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="(P + C) / 2"/>
	<labelOffset x="-14" y="-10"/>
</element>
<expression label="text9" exp="&quot;m_2&quot;"/>
<element type="text" label="text9">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="(P + D) / 2"/>
	<labelOffset x="-16" y="-10"/>
</element>
<expression label="text10" exp="&quot;m_1&quot;"/>
<element type="text" label="text10">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="(Q + E) / 2"/>
	<labelOffset x="-7" y="-10"/>
</element>
<expression label="text11" exp="&quot;m_2&quot;"/>
<element type="text" label="text11">
	<show object="true" label="false" ev="43"/>
	<condition showObject="¬toggleTangent"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
	<startPoint exp="(Q + F) / 2"/>
	<labelOffset x="-15" y="-16"/>
</element>
</construction>
</geogebra>